Mutter absolvierte ein Studium der Wirtschaftswissenschaften an der Universität Freiburg, das er als Diplom-Volkswirt mit Prädikat erfolgreich abschließen konnte. Nach Studienabschluss nahm er eine Tätigkeit als Fachberater bei der Klinikberatung CMK in Freiburg auf. 2003 wechselte er zum Zentrum für Psychiatrie Emmendingen und war dort unter anderem Betriebsdirektor. Nach sechs Jahren an dieser Position folgte eine berufliche Station in einer Krankenhausberatung in Mannheim. 2015 übernahm Mutter dann erneut eine Führungsaufgabe in einem Krankenhaus und wurde Stellvertretender Verwaltungsdirektor im Kreiskrankenhaus Emmendingen. Bis zu seinem Wechsel an das Ortenau Klinikum ist Mutter als Kaufmännischer Leiter in der BDH-Klinik Elzach tätig. 

Christof Mutter wird Michael Goldt, Verwaltungsdirektor am Ortenau Klinikum Achern-Oberkirch, ablösen, der die Verwaltungsdirektion des Ortenau Klinikums Lahr-Ettenheim Ende 2019 interimsweise übernommen hatte. An den beiden Standorten des Klinikverbunds werden rund 1400 Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter beschäftigt und fast 22 000 stationäre Patienten pro Jahr behandelt.